モンテカルロ法 実装ガイド

薄い線の1本1本が「あり得た未来」だ。1回ごとの結末はてんでばらばらなのに、中央の太い線（中央値）と上下の帯（10/90パーセンタイル）はどの試行でもほぼ同じ位置に落ち着く。試行を重ねるほど、確率的な答えは安定していく。

01モンテカルロ法の基本原理

「将来はどうなるか」を1本の予測線で出す代わりに、乱数を使って何百〜何千通りもの未来を計算し、その分布を見る手法がモンテカルロ法である。1回の試算では「平均的にはこうなる」しか言えないが、多数の試行を重ねることで「悪いケースでもこの範囲に収まる可能性が高い」という確率的な答えが得られる。

「乱数で点を打つだけ」の単純作業でも、数を重ねるとπという確定値に収束していく。モンテカルロ法の原理は、この最小の例にすべて詰まっている。

推定値は真値のまわりをふらつき続ける。ただしそのブレ幅は試行回数の平方根に反比例して（1/√N）縮み、精度を10倍にするには試行を100倍にしなければならない。帯がじりじりとしか狭まらないのは、大数の法則が課すこのコストのためだ。

02資産形成シミュレーションへの応用

毎年のリターンを固定値ではなく「平均リターン±ブレ幅」を持つ乱数として発生させ、これを想定年数分繰り返して最終資産額を1つ得る。これを1,000回試行すれば、1,000通りの最終資産額が得られ、その分布から「中央値」「悪いケース（下位10%）」「良いケース（上位10%）」を提示できる。

モンテカルロ法の真価は「平均でいくら増えるか」ではなく「目標額に届く確率は何%か」「最悪でもどのくらい残るか」を数字で言えること。ブレ幅を上げると中央値はさほど動かなくても、下振れの裾が伸びて達成確率が下がるのが分かる。

1,000通りの結果を小さい順に並べ替えると、「下位10%」「中央値」といったパーセンタイルはこの並びの何番目かを読むだけになる。ファンチャートの上下の帯も、各時点でこの並び替えをしてパーセンタイル点を抜き出したものだ。

03乱数分布の選び方（正規・対数正規）

年間リターンには正規分布を使うことが多いが、資産額そのもの（掛け算で増えていく量）は対数正規分布に従わせる方が、マイナス資産のような非現実的な値を避けられる。ボックス・ミュラー法などで正規乱数を生成し、複利計算に組み込むのが実装の定石である。

ブレ幅を大きくすると、正規分布（グレー）は左裾が資産ゼロのラインを越え、「マイナスの資産」にまで確率を割り当ててしまう。対数正規分布（青）はどれだけブレても0の壁を越えない。両者を場面で使い分けるのは、この違いがあるからだ。

JavaScriptのMath.random()が返すのは0〜1の一様乱数だけ。その2つを三角関数で組み合わせると、正規分布に従う乱数が2つ生まれる（ボックス・ミュラー法）。均一に散らばった左の点から、右のベル型がせり上がっていくのが見えるだろうか。

04実装コードとパフォーマンス最適化

1,000試行×30年分のループはJavaScriptでも数十ミリ秒程度で収まるが、UIをブロックしないようrequestIdleCallbackやWeb Workerへ逃がす選択肢もある。試行回数を増やすほど分布は滑らかになるが、1,000〜2,000回程度で体感上は十分収束する。

u を動かすと、単独サンプル f(u) は1から e（約2.72）まで大きく振れる。ところが u と 1−u を対にして平均すると、その値は真値のすぐそばに貼りついたまま動かない。片方が上振れすれば相方が下振れして誤差を打ち消すからだ。だから評価回数を増やさなくても、推定のばらつきだけが小さくなる。これがアンチセティック変数法である。

シード付き乱数のまま生成をくり返すと、新しい点は前回の輪の上へ一粒残らず重なり、指紋もぴたりと一致する。同じ入力なら同じ乱数列が返るので、モンテカルロの試行を丸ごと再現できるわけだ。システム乱数に切り替えると点は毎回どこか別の場所へ散り、同じ配置は二度と戻らない。バグの再現やテストにシードが欠かせないのは、このためだ。

05結果の可視化パターン

分布は「ファンチャート」（時間経過に沿って上位/中央/下位のバンドを塗り分けた面グラフ）で見せると直感的に伝わる。数千本の線をそのまま描画するより、パーセンタイル（10/50/90%点など）だけを抽出して帯として描く方が視覚的にも軽い。

数千本の線をそのまま重ねると（線で描く）、中央は真っ黒に潰れて密度の違いが読めない。同じデータを通過回数のヒートマップにする（密度で描く）と、パスがどこを濃く通るかが色の濃淡で浮かび上がる。線を1本も捨てずに、むしろ情報量を増やす描き方だ。